domingo, 27 de junio de 2010
5.6 Perpetuidades
Una perpetuidad es, una anualidad donde la renta se mantiene fija, o variable, pero por tiempo ilimitado, y esto crea la necesidad de que el capital que lo produce nunca se agote, a diferencia de las otras anualidades donde el capital al final del plazo queda siempre en ceros.
La renta periódica, por lo tanto, deberá ser menor o igual a los intereses que genera el capital correspondiente; por lo tanto nunca debe estar por arriba del resultado que se obtiene al multiplicar el capital C por i, la tasa de interés por periodo. Como esta tasa puede variar, la renta también, pero para efectos prácticos, desde el punto de vista operativo, se considera fija durante por lo menos un periodo anual. Puede probarse, además, que si la renta es menor que los intereses del periodo, los resultados varían muy poco y por eso no se considera el caso.
También es cierto que en este tipo de anualidades, no se da tiempo a que los intereses se capitalicen, y por eso es indiferente que la tasa de intereses sea simple o compuesta, aunque para facilitar las operaciones se considera simple tomando en cuenta, claro, que la frecuencia de conversión o de capitalización de intereses coincide con la frecuencia de pagos.
La renta periódica, por lo tanto, deberá ser menor o igual a los intereses que genera el capital correspondiente; por lo tanto nunca debe estar por arriba del resultado que se obtiene al multiplicar el capital C por i, la tasa de interés por periodo. Como esta tasa puede variar, la renta también, pero para efectos prácticos, desde el punto de vista operativo, se considera fija durante por lo menos un periodo anual. Puede probarse, además, que si la renta es menor que los intereses del periodo, los resultados varían muy poco y por eso no se considera el caso.
También es cierto que en este tipo de anualidades, no se da tiempo a que los intereses se capitalicen, y por eso es indiferente que la tasa de intereses sea simple o compuesta, aunque para facilitar las operaciones se considera simple tomando en cuenta, claro, que la frecuencia de conversión o de capitalización de intereses coincide con la frecuencia de pagos.
Perpetuidades
5.5 Anualidad Diferida
Estas anualidades se caracterizan porque la primera renta no se ejecuta en el primer periodo o la última no se hace en el último.
El procedimiento para evaluar sus elementos es muy simple, ya que se resuelven como inmediatas utilizando las formulas anteriores, para después trasladar en el tiempo el monto o el capital, utilizando la formula del interés compuesto, como se aprecia en el ejemplo.
El procedimiento para evaluar sus elementos es muy simple, ya que se resuelven como inmediatas utilizando las formulas anteriores, para después trasladar en el tiempo el monto o el capital, utilizando la formula del interés compuesto, como se aprecia en el ejemplo.
Anualidad diferida
5.4.5 Anualidad General
Las anualidades generales, se caracterizan, porque no coincide el intervalo de pago con la frecuencia de capitalización de interés.
Lo primero es hacerlos coincidir utilizando tasas equivalentes, tomando en cuenta que en las formulas debe utilizarse la que se capitaliza con mayor frecuencia, es decir, la menor de las dos equivalentes.
Anualidad General
5.4.1 Rentas Anticipadas
El valor futuro de M de las anualidades con pagos anticipados que está determinado por la siguiente formula:
Rentas anticipadas
5.4 Rentas Equivalentes
Cuando las rentas son vencidas se asocian con su capital o valor presente al comenzar el plazo, y que cuando son anticipadas se relacionarían, es decir se hallaría su monto o valor acumulado al final del plazo, hay situaciones en las cuales los pagos anticipados se asocian con el capital y los vencidos con su monto. El caso más notorio se da cuando, por ejemplo, un conjunto de pagos periódicos se reemplaza por otro que es equivalente; esto es, que tiene los mismos efectos pero con diferente frecuencia, dando lugar a lo que se conoce como rentas equivalentes.
Rentas Equivalentes
Si un conjunto de rentas es sustituido por otro que con diferente frecuencia de pagos produce el mismo monto; o si a los dos corresponde el mismo valor presente, entonces se habla de rentas equivalentes.
Rentas Equivalentes
Si un conjunto de rentas es sustituido por otro que con diferente frecuencia de pagos produce el mismo monto; o si a los dos corresponde el mismo valor presente, entonces se habla de rentas equivalentes.
5.3.3 Anualidad General
Una anualidad es general si los pagos se realizan en periodos distintos a la frecuencia con que los intereses se capitalizan. Un método de solución consiste en transformar la anualidad general en simple, utilizando la tasa de interés equivalente, como se aplica en el siguiente problema.
Anualidad General
5.3.2 Ajuste del número de rentas
En virtud que los intereses se hacen efectivos hasta que concluyen periodos completos, el resultado anterior deberá ser un entero, por eso se hace un ajuste, en este caso y casi siempre que se cuestione el número de rentas. Este ajuste se realiza por lo menos de las siguientes maneras:
-Redondeando x al entero menor, razón por la cual los abonos crecen
-Redondeando al entero mayor, con lo que la renta disminuye.
-Con un pago menor al final del plazo. O bien,
-Con uno mayor final.
En todas se supone, claro, que el capital no varía, variarlo sería otra opción
Ajuste del número de rentas
5.3 Valor presente de la anualidades ordinarias
Estas anualidades se caracterizan porque se realizan al final de cada periodo, razón por la cual se conocen también como anualidades vencidas. Lo más común, es asociar las rentas con su valor equivalente al comenzar el plazo, es decir, con su valor presente C que se obtiene con la formula que desarrollaremos en el primer ejemplo.
Las aplicaciones más comunes de estas anualidades se refieren a la amortización de deudas, como créditos hipotecarios, automotrices o cualquier otro que se liquida con pagos periódicos y cargos de interés compuesto.
Deducción de la formula general
sábado, 26 de junio de 2010
5.2 Monto de una Anualidad Anticipada
Una anualidad es anticipada si los pagos se realizan al comenzar cada periodo.
Para hallar el monto de una anualidad anticipada, a cada renta se le agregan los intereses que dependen del número de periodos que haya entre la renta y el final del plazo.
Por lo tanto, la fórmula del interés compuesto se emplea para cada monto parcial, después se suman y se obtiene una fórmula general.
Cabe señalar que cualquier anualidad se resuelve aplicando apropiadamente esta fórmula general, ya que si se tiene un valor único equivalente a todas las rentas, al término del plazo éste se traslada a cualquier otra fecha con la fórmula del interés compuesto.
Deducción de la fórmula general
Obtendremos el resultado de este problema, aplicando el Teorema 5.1 ...
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
José Luis Villalobos
Edit. PEARSON Prentice Hall
Tercera Edición
Pp.233-236
5.1.1 Solución [problemas de anualidades]
También es cierto que los problemas de anualidades se resuelven:
a) Con tablas financieras con las que se obtiene el valor presente o el valor acumulado para np rentas unitarias. Para algunas tasas i/p y algunos plazos o número de rentas np.
i/p Tasa de interés por periodo capitalizable cada periodo.
np Número de periodos o rentas en anualidades, amortizaciones y fondos.
b) Empleando fórmulas que para cada clase de anualidad existen.
c) Utilizando solamente dos formulas, la de interés compuesto y la de la suma de los primeros términos de una progresión geométrica.
d) Con programas y paquetería de software que hay en el mercado, que son de fácil acceso para el usuario y que fueron elaborados con fundamento en los conceptos y la teoría de las matemáticas financieras.
Para decidir con acierto cómo plantear o a qué clase de anualidad corresponde o se ajusta una situación particular, se siguiere considerar lo siguiente antes de entrar en detalles del tema.
En vez de la recta horizontal que [se utilizan para los diagramas de tiempo], utilizaremos rectángulos que representan los periodos, y en cada uno es su extremo derecho o izquierdo se grafican flechas verticales indicando la renta o pago de la anualidad, utilizando, claro, puntos suspensivos para representarlos a todos sin tener que graficarlos.
Si una persona deposita, digamos, $3,000 cada mes durante siete meses, entonces una gráfica será la figura 5.1, donde los depósitos están al final de cada periodo, y el monto que se acumula está al final del último rectángulo
En está grafica se aprecian dos puntos importantes.
• El plazo no es de 7 meses sino solamente de 6, ya que el primer mes no interviene, salvo que el trato se haya realizado al inicio; en la práctica, lo más común es que el primer depósito se realice al comenzar el plazo.
• En el momento en que se retira el monto acumulado de los anteriores, se realiza el último depósito. Esto no tiene razón de ser ya que este pago no se incluiría.
En consecuencia, cuando de la sucesión de rentas se requiera el monto, éstas deberá considerarse al inicio de cada periodo, siendo el diagrama apropiado el de la figura 5.2, donde las flechas horizontales indican que cada renta se traslada ene le tiempo hasta el final del plazo, sumando los intereses de cada una y sumándolas todas.
Contrariamente, si las rentas se requiere el valor presente al comenzar el plazo, entonces éstas deberán ubicarse al final de cada periodo, como se aprecia en la figura 5.3
Esto significa que al no especificarse lo contrario las anualidades anticipadas se asociarán con el valor futuro al término del plazo, mientras que las ordinarias serán asociadas con su valor presente al comenzar el plazo; es decir,
Por supuesto que lo anterior no es una regla y, en muchas ocasiones el monto se relaciona con rentas vencidas; y el valor presente, con una serie de rentas anticipadas.
Por otro lado, como se aprecia en las figuras 5.4 y 5.5, cada renta hará las veces de capital al considerar el monto de la anualidad, y será un monto cuando se trate del valor presente.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
José Luis Villalobos
Edit. PEARSON Prentice Hall
Tercera Edición
Pp.228-232
5.1 Anualidades [definición y clasificación]
Literalmente la palabra anualidad indica periodos anuales, no necesariamente los pagos se realizan cada año, sino que su frecuencia puede ser de otro tipo ya sea: mensual, semanal semestral o diaria, como lo estudiaremos en el siguiente tema.
Antes hare mención de algunos conceptos importantes y necesarios para el estudio de este tema.
Anualidad
Es una sucesión de pagos generalmente iguales que se realizaban a intervalos de tiempo iguales y con interés compuesto.
Renta de la anualidad es el pago periódico y se expresa con R.
Intervalo de pago es el tiempo que hay entre dos pagos sucesivos, y el plazo de la anualidad es el tiempo entre las fechas inicial del primer periodo y terminal del último.
El valor equivalente a las rentas al inicio del plazo se conoce como capital o valor presente C. Su valor al final del pazo es el valor futuro o monto de la anualidad, que se expresa con M.
Ejemplo 1
Elementos de una anualidad
Si el propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un año, para rentarlo en $6,500por mes, entonces:
El plazo es de un año, la renta R=$6,500 y el intervalo de pago es un mes.
Además, si el inquilino decide pagar por adelantado en la firma del contrato el equivalente a las 12 mensualidades, entonces el propietario, a causa de los intereses que devenga el dinero anticipado, recibirá un capital menor a los $78,000 que obtendría durante el año. Este capital es el valor presente o valor actual de la anualidad.
Si al contrario, al recibir cada pago mensual, el propietario lo deposita en un banco que reditúa un interés compuesto, entonces el dinero que al final del año tendrá en la institución bancaria será mayor a los $78,000 y eso será el monto o valor futuro de la anualidad.
Clasificación de las anualidades
Genéricamente la frecuencia de pagos coincide con la frecuencia de capitalización de intereses, pero es posible que no coincida. Quizá también la renta se haga al inicio de cada periodo o al final; o que la primera se realice en el primer periodo o algunos periodos después.
Dependiendo de éstas y otras variantes, las anualidades se clasifican de la siguiente manera:
Antes hare mención de algunos conceptos importantes y necesarios para el estudio de este tema.
Anualidad
Es una sucesión de pagos generalmente iguales que se realizaban a intervalos de tiempo iguales y con interés compuesto.
Renta de la anualidad es el pago periódico y se expresa con R.
Intervalo de pago es el tiempo que hay entre dos pagos sucesivos, y el plazo de la anualidad es el tiempo entre las fechas inicial del primer periodo y terminal del último.
El valor equivalente a las rentas al inicio del plazo se conoce como capital o valor presente C. Su valor al final del pazo es el valor futuro o monto de la anualidad, que se expresa con M.
Ejemplo 1
Elementos de una anualidad
Si el propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un año, para rentarlo en $6,500por mes, entonces:
El plazo es de un año, la renta R=$6,500 y el intervalo de pago es un mes.
Además, si el inquilino decide pagar por adelantado en la firma del contrato el equivalente a las 12 mensualidades, entonces el propietario, a causa de los intereses que devenga el dinero anticipado, recibirá un capital menor a los $78,000 que obtendría durante el año. Este capital es el valor presente o valor actual de la anualidad.
Si al contrario, al recibir cada pago mensual, el propietario lo deposita en un banco que reditúa un interés compuesto, entonces el dinero que al final del año tendrá en la institución bancaria será mayor a los $78,000 y eso será el monto o valor futuro de la anualidad.
Clasificación de las anualidades
Genéricamente la frecuencia de pagos coincide con la frecuencia de capitalización de intereses, pero es posible que no coincida. Quizá también la renta se haga al inicio de cada periodo o al final; o que la primera se realice en el primer periodo o algunos periodos después.
Dependiendo de éstas y otras variantes, las anualidades se clasifican de la siguiente manera:
Todas las anualidades vistas en este tema son ciertas, las primeras son simples o inmediatas; también se analizan las generales, tomando en cuenta que pueden convertirse en simples...
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
José Luis Villalobos
Edit. PEARSON Prentice Hall
Tercera Edición
Pp.228-232
miércoles, 9 de junio de 2010
MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
Al comenzar cada periodo es una anualidad anticipada la mejor manera y la más usual para guiar su monto se agrega los intereses en cada renta, aunque depende de los periodos que se encuentre hasta el final del plazo.
Su fórmula de interés compuesto es de cada monto sumándose dando origen a la formula general. Que con ella podremos resolver cualquier anualidad siempre y cuando se equivalen las rentas y si se desea cambiar a otra fecha se usara la fórmula del interés compuesto.
Formula general
Que mono se reúne en 2 meses si el depósito inicial es de 1500 en cada mes con una tasa del 24% anual capitalizable mensual.
Es simple la anualidad por q la frecuencia de conversión es similar a la de pagos, por conocer el numero de rentas es cierta; y en el primer deposito se conoce q es inmediata; es anticipada por realizar al inicio cada mensualidad.
El primer deposito tiene interés en 24 periodos mensuales el siguiente en 23 meses así consecutivamente y en el ultimo gana al final del mes.
La suma es:
Si se sustituye este resultado en la ecuación, se tendrá que el monto total es:
Para generalizar, note que el primer término y la razón son:
Y el número de términos es el número de rentas:
La suma es, entonces:
Se cancelan los unos del nominador.
La tasa nominal quincenal y recuperación de pagaré
¿Qué tasa de interés capitalizable por quincenas le están cargando a la señora de Ramírez, si para recuperar un pagaré con valor nomina de $39,750, incluidos los intereses, hace 15 pagos quincenales anticipados de $2400?
Anualidad anticipada
M= 39,750 valor futuro
R= 2,400 la renta quincenal
p= 24, la frecuencia de pagos y de conversión
n= 15/24 , el plazo en años
np= 15, el número de rentas
i= incógnita
Por lo cual, 39,750 = 2,400
Para determinar el valor de con mayor exactitud, o para encontrarlo sin el uso de tablas, se procede con interacciones, dando a x valores sucesivos hasta alcanzar la precisión deseada.
A continuación se indican algunos de tales valores.
Primero se simplifica la ecuación anterior, multiplicándola por x y otras operaciones algebraicas.
Si x = 0.01
Si x= 0.02
Si x =
Si x = 0.012:
X = 0.012287288, el resultado es 1.000000001
X = i/24 = 0.01228728
I = 0.294894912% es la tasa anual capitalizable por quincenas que le cargan a la señora Ramírez.
Monto en cuenta de ahorros e intereses
¿Cuánto se acumula en una cuenta de ahorros con 32 pagos quincenales de $625 cada uno, si la tasa de interés nominal quincenal en los primeros 5 mese es del 22.32%, y después aumenta 2.4 puntos porcentuales por año cada trimestre?, ¿Cuánto se genera por concepto de intereses?
El ejercicio se resuelve considerando 4 anualidades de 10,8,8 y 6 rentas quincenales cada una.
El primer deposito tiene interés en 24 periodos mensuales el siguiente en 23 meses así consecutivamente y en el ultimo gana al final del mes.
La suma es:
Si se sustituye este resultado en la ecuación, se tendrá que el monto total es:
Para generalizar, note que el primer término y la razón son:
Y el número de términos es el número de rentas:
La suma es, entonces:
Se cancelan los unos del nominador.
La tasa nominal quincenal y recuperación de pagaré
¿Qué tasa de interés capitalizable por quincenas le están cargando a la señora de Ramírez, si para recuperar un pagaré con valor nomina de $39,750, incluidos los intereses, hace 15 pagos quincenales anticipados de $2400?
Anualidad anticipada
M= 39,750 valor futuro
R= 2,400 la renta quincenal
p= 24, la frecuencia de pagos y de conversión
n= 15/24 , el plazo en años
np= 15, el número de rentas
i= incógnita
Por lo cual, 39,750 = 2,400
Para determinar el valor de con mayor exactitud, o para encontrarlo sin el uso de tablas, se procede con interacciones, dando a x valores sucesivos hasta alcanzar la precisión deseada.
A continuación se indican algunos de tales valores.
Primero se simplifica la ecuación anterior, multiplicándola por x y otras operaciones algebraicas.
Si x = 0.01
Si x= 0.02
Si x =
Si x = 0.012:
X = 0.012287288, el resultado es 1.000000001
X = i/24 = 0.01228728
I = 0.294894912% es la tasa anual capitalizable por quincenas que le cargan a la señora Ramírez.
Monto en cuenta de ahorros e intereses
¿Cuánto se acumula en una cuenta de ahorros con 32 pagos quincenales de $625 cada uno, si la tasa de interés nominal quincenal en los primeros 5 mese es del 22.32%, y después aumenta 2.4 puntos porcentuales por año cada trimestre?, ¿Cuánto se genera por concepto de intereses?
El ejercicio se resuelve considerando 4 anualidades de 10,8,8 y 6 rentas quincenales cada una.
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